Question

下表给出一个“等差数阵”：

其中每行、每列都是等差数列，a_ij表示位于第i行第j列的数．

(1)写出a₄₅的值；

(2)写出a_ij的计算公式；

(3)证明：正整数N在该等差数列阵中的充要条件是2N＋1可以分解成两个不是1的正整数之积．

Answer 1

答案：
解析：

(1)a45＝49． 　　(2)该等差数阵的第一行是首项为4，公差为3的等差数列，a1j＝4＋3(j－1)；第二行是首项为7，公差为5的等差数列，a2j＝7＋5(j－1)；…；第i行是首项为4＋3(i－1)，公差为2i＋1的等差数列，因此aij＝4＋3(i－1)＋(2i＋1)(j－1)＝2ij＋i＋j＝i(2j＋1)＋j． 　　(3)必要性；若N在该等差数阵中，则存在正整数i，j使得N＝i(2j＋1)＋j，从而2N＋1＝2i(2j＋1)＋2j＋1＝(2i＋1)·(2j＋1)，即正整数2N＋1可以分解成两个不是1的正整数之积． 　　充分性：若2N＋1可以分解成两个不是1的正整数之积，由于2N＋1是奇数，则它必为两个不是1的奇数之积，即存在正整数k，l，使得2N＋1＝(2k＋1)(2l＋1)，从而N＝k(2l＋1)＋l＝akl，可见N在该等差数阵中，综上所述，正整数N在该等差数阵中的充要条件是2N＋1可以分解成两个不是1的正整数之积．