Question

（2011•江西模拟）如图，已知A是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上的一个动点，F₁，F₂分别为椭圆的左、右焦点，弦AB过点F₂，当AB⊥x轴时，恰好有|AF₁|=3|AF₂|．
（1）求椭圆的离心率；
（2）设P是椭圆的左顶点，PA，PB分别与椭圆右准线交与M，N两点，求证：以MN为直径的圆D一定经过一定点，并求出定点坐标．

Answer 1

分析：（1）由已知中AB⊥x轴时恰有|AF₁|=3|AF₂|．结合椭圆的定义，可得

|AF1|=3|AF2| |AF1|+|AF2|=2a |AF1|2-|AF2|2=4c2

，进而求出椭圆的离心率；
（2）由（1）可设椭圆方程为x²+2y²=2b²，其右准线方程为x=2b，分AB⊥x轴时和AB斜率存在时两种情况分别判断F₂与MN为直径的圆D的关系，即可得到答案．

解答：解：（1）由条件可得

|AF1|=3|AF2| |AF1|+|AF2|=2a |AF1|2-|AF2|2=4c2

，
解得e=

2

2

…．（3分）
证明：（2）由（1）可设椭圆方程为x²+2y²=2b²，其右准线方程为x=2b，P(-

2

b，0)
①当AB⊥x轴时，易得A(b，

2

2

b)，B(b，-

2

2

b)，
由三点共线可得M（2b，b），N（2b，-b）
则圆D的方程为（x-2b）（x-2b）+（y-b）（y+b）=0，
即（x-2b）²+y²=b²
易得圆过定点F₂（b，0）…（6分）
②当AB斜率存在时，设其方程为y=kx-kb，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
把直线方程代入椭圆方程得：（1+2k²）x²-4k²bx+（2k²-2）b²=0∴x1+x2=

4k2b

1+2k2

，x1x2=

(2k2-2)b2

1+2k2

y1y2=k2[x1x2-b(x1+x2)+b2]=…=-

k2b2

1+2k2

，
故直线AP的方程为y=

y1

x1+ 2 b

(x+

2

b)，
令x=2b得M(2b，

(2+ 2 )by1

x1+ 2 b

)，同理可得N(2b，

(2+ 2 )by2

x2+ 2 b

)…（9分）
∴

F2M

•

F2N

=(b，

(2+ 2 )by1

x1+ 2 b

)•(b，

(2+ 2 )by2

x2+ 2 b

)=b2+

(2+ 2 )2b2y1y2

(x1+ 2 b)(x2+ 2 b)

=…=b2+

(6+4 2 )b2•(- k2b2 1+2k2 )

(2k2-2)b2+4 2 k2b2+2b2 1+2k2 +2b2

=…=b2-b2=0
所以F₂在以MN为直径的圆D上，
综上，以MN为直径的圆D一定经过定点F₂（b，0）…．（13分）

点评：本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的综合应用，椭圆的性质，圆的标准方程，综合性强，难度较大．