Question

（1）①计算

lim

n→∞

an+1+bn

an+bn+1

（a²+b²≠0且a≠-b）；
②计算

lim

x→-∞

x2-3

3 x3+1

．
（2）设函数f(x)=

x2 1+x2 -1 -1(x＞0) a(x=0) b x ( 1+x -1)(x＜0)

①若f（x）在x=0处的极限存在，求a，b的值；
②若f（x）在x=0处连续，求a，b的值．

Answer 1

分析：（1）①当a=b≠0，|a|＞|b|和|a|＜|b|时，根据题设条件和计算法则分别求解

lim

n→∞

an+1+bn

an+bn+1

的值．
②分子分线同时除以x，把

lim

x→-∞

x2-3

3 x3+1

转化为

lim

x→-∞

1- 3 x2

3 -1+ 1 x3

=-1．
（2）①求出函数的左极限是

b

2

，右极限是1．由f（x）在x=0处的极限存在，知

b

2

=1，所以b=2．故a∈R，b=2．
②由f（x）在x=0处连续，知

b 2 =1 a=1

，故a=1，b=2．

解答：解：（1）①当a=b≠0时，

lim

n→∞

an+1+bn

an+bn+1

=1；
当|a|＞|b|时，

lim

n→∞

an+1+bn

an+bn+1

=

lim

n→∞

 

a+( b a )n

1+b( b a )n

=a；
当|a|＜|b|时，

lim

n→∞

an+1+bn

an+bn+1

=

lim

n→∞

a( a b )n+1

( a b )n+b

=

1

b

．
∴

lim

n→∞

an+1+bn

an+bn+1

=

1，a=b≠0 a|a|＞|b 1 b |a|＜|b

．
②

lim

x→-∞

x2-3

3 x3+1

=

lim

x→-∞

1- 3 x2

3 -1+ 1 x3

=-1．

（2）解：①

lim

x→0-

f(x)=

lim

x→0-

b

x

(

1+x

-1)
=

lim

x→0-

b( 1+x -1)( 1+x +1)

x( 1+x +1)

=

lim

x→0-

b

1+x +1

=

b

2

．

lim

x→0+

(

x2

1+x2 -1

-1)=

lim

x→0+

[

x2( 1+x2 +1)

( 1+x2 -1)( 1+x2 +1)

-1]
=

lim

0→0+

1+x2

=1．
∵f（x）在x=0处的极限存在，∴

b

2

=1，∴b=2．
故a∈R，b=2．
②∵f（x）在x=0处连续，∴

b 2 =1 a=1

，∴a=1，b=2．

点评：本题考查极限、迦续的概念和性质，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件．