Question

【题目】（12分）已知函数 ．

（1）若x=2是函数f（x）的极值点，求曲线y=f（x）在点（1,f（1））处的切线方程；

（2）若函数f（x）在 上为单调增函数，求a的取值范围；

（3）设m，n为正实数，且m>n，求证： ．

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】试题分析：（1）导函数为，由，解得并检验，再求得，切点为（1,0），由点斜式可求得切线方程。（2）由题意可在上恒成立，所以在上恒成立，分离参数得，所以， 。（3）由于是多个变量，所以利用变形，换元变成一个变量，变形为，设．求导可证h(x)>0.

试题解析：（1），由题意知，代入得，经检验，符合题意． 从而切线斜率，切点为（1,0），所以切线方程为

（2），因为f（x）在上为单调增函数，

所以在上恒成立，即在上恒成立．

当时，由，得．

设 。， ．

所以当且仅当，即x=1时，g（x）有最小值2．

所以，所以．

所以a的取值范围是．

（3）要证，只需证，只需证，设．

由（2）知在上是单调增函数，又．

所以，

即成立，所以