Question

已知双曲线C的方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），过右焦点F作双曲线在一，三象限的渐近线的垂线l，垂足为P，l与双曲线C的左右的交点分别为A，B
（1）求证：点P在直线x=

a2

c

上（C为半焦距）．
（2）求双曲线C的离心率e的取值范围．
（3）若|AP|=3|PB|，求离心率．

Answer 1

分析：1）先设出双曲线半焦距，求得渐近线方程，则可求得过F的垂线方程，联立方程求得焦点p的横坐标，推断出在右准线上
（2）根据直线l与双曲线左右支均有交点，判断出该双曲线与其在第一、三象限的渐近线l₁必交于第三象限．即l₁的斜率必大于l的斜率，进而推断出

b

a

＞

a

b

整理后即可求得a和c的不等式关系，求得离心率的范围．
（3）由题知P分AB所成比λ=3，利用定比分点的坐标公式可得，

x1+3x2

4

=

a2

c

，结合x1+x2=

2a4c

a4-b4

可求，x₁，x₂，由x₁x₂=

a2(a2c2+b4)

a4-b4

整理可得q，b的关系，进而可求离心率e

解答：解：（1）∵双曲线在一，三象限的渐近线为y=

b

a

x，右焦点F（c，0）
∴所求的直线l：y=-

a

b

(x-c)
由y=

b

a

x及y=-

a

b

(x-c)联立解得P的坐标P：(

a2

c

，

ab

c

)
所以点P在直线x=

a2

c

上
（2）由

y=- b a (x-c) x2 a2 - y2 b2 =1

消去y得（b⁴-a⁴）x²+2a⁴cx-a²（a²c²+b⁴）=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）∴x1+x2=

2a4c

a4-b4

，x1x2=

a2(a2c2+b4)

a4-b4

＜0
∴b²＞a²即c²＞2a²
∴e＞

2

（3）由题知P分AB所成比λ=3
∴

x1+3x2

4

=

a2

c

∴x1+3x2=

4a2

c

又x1+x2=

2a4c

a4-b4

∴x1=

a2(a2+2b2)

c(a2-b2 )

，x2=

a2(a2-2b2)

c(a2-b2 )

∴

a2(a2+2b2)

c(a2-b2 )

•

a2(a2-2b2)

c(a2-b2 )

=

a2(a2c2+b4)

a4-b4

化简得4a²=b²
∴e=

c

a

=

5

点评：本题主要考查了双曲线的简单性质．涉及了双曲线方程中a，b和c的关系，渐近线问题，离心率问题等