Question

【题目】已知函数

是否存在，使得，按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定的个数；若不存在，请说明理由；

求实数与正整数，使得在内恰有个零点.

Answer 1

【答案】(1)见解析；(2)见解析

【解析】

（1）根据题意可得，所以可将问题转化为判断方程在区间内是否有解处理，设，判断出函数的单调性，再根据零点存在性定理求解．（2）结合题意可将问题转化为研究当时，方程的解的情况．然后利用导数和函数的周期性进行分析、求解后可得结论．

（1）∵，

∴，

所以．

所以问题转化为方程在区间内是否有解．

设，

则，

因为，

所以 在区间上单调递增，

又，

所以在区间内存在唯一零点，

即存在唯一的 满足题意．

（2）由题意得．

令，

当，即时，，从而不是方程的解．

所以方程等价于关于的方程，

下面研究当时，方程的解的情况．

令，，

则问题等价于直线与曲线的交点情况．

又，

令得或．

当变化时，的变化情况如下表：

				()
	+	0	-	-	0	+
		1			-1

当且趋近于0时，趋向于，

当且趋近于时，趋向于，

当且趋近于时，趋向于，

当且趋近于时，趋向于，

故当时，直线与曲线在内无交点，在内有2个交点；

当时，直线与曲线在内有2个交点，在内无交点；

当时，直线与曲线在内有2个交点，在内有2个交点.

由的周期性可知当时，直线与在内总有偶数个交点，

从而不存在正整数，使与在内有2019个交点．

又当或时，直线与在内有三个交点，

由周期性知，

所以．