Question

附加题（10分，总分120以上有效）
（1）设函数f（x）=（x-3）³+x-1，{a_n}是公差不为0的等差数列，f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₇）=14，则a₁+a₂+…+a₇=______
（2）若S_n=sin

π

7

+sin

2π

7

+…+sin

nπ

7

（n∈N⁺），则在S₁，S₂，…S₁₀₀中，正数的个数是______．

Answer 1

（1）∵f（x）=（x-3）³+x-1，∴f（x）-2=（x-3）³+x-3，
令g（x）=f（x）-2，
∴g（x）关于（3，0）对称，
∵f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₇）=14，
∴f（a₁）-2+f（a₂）-2+…+f（a₇）-2=0
∴g（a₁）+g（a₂）+…+g（a₇）=0，
∴g（a₄）为g（x）与x轴的交点，
因为g（x）关于（3，0）对称，所以a₄=3，
∴a₁+a₂+…+a₇=7a₄=21，
故答案为：21．
（2）∵sin

π

7

＞0，sin

2π

7

＞0，…，sin

6π

7

＞0，sin

7π

7

=0，sin

8π

7

＜0，…，sin

13π

7

＜0，sin

14π

7

=0，
∴S₁=sin

π

7

＞0，
S₂=sin

π

7

+sin

2π

7

＞0，…，
S₈=sin

π

7

+sin

2π

7

+…+sin

6π

7

+sin

7π

7

+sin

8π

7

=sin

2π

7

+…+sin

6π

7

+sin

7π

7

＞0，
…，
S₁₂＞0，
而S₁₃=sin

π

7

+sin

2π

7

+…+sin

6π

7

+sin

7π

7

+sin

8π

7

+sin

9π

7

+…+sin

13π

7

=0，
S₁₄=S₁₃+sin

14π

7

=0+0=0，
又S₁₅=S₁₄+sin

15π

7

=0+sin

π

7

=S₁＞0，S₁₆=S₂＞0，…S₂₇=S₁₃=0，S₂₈=S₁₄=0，
∴S_14n-1=0，S_14n=0（n∈N*），在1，2，…100中，能被14整除的共7项，
∴在S₁，S₂，…，S₁₀₀中，为0的项共有14项，其余项都为正数．
故在S₁，S₂，…，S₁₀₀中，正数的个数是86．
故答案为：86．