Question

在如图所示的几何体中，四边形是等腰梯形，∥，，．在梯形中，∥，且，⊥平面．

（1）求证：；
（2）若二面角为，求的长．

Answer 1

（1）证明：见解析；（2）的长为．

解析试题分析：（1）在中,应用余弦定理得,从而得到．
再利用⊥平面，平面
得．
由⊥平面，平面得到．
（2）建立空间直角坐标系,利用“空间向量方法”得到，解得．
试题解析：（1）证明：在中,
所以,由勾股定理知所以 ．   2分
又因为 ⊥平面，平面
所以 ．                                           4分
又因为 所以 ⊥平面，又平面
所以 ．                                           6分

（2）因为⊥平面，又由（1）知，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 .
设，则,,，,，
.            8分
设平面的法向量为，则  所以
令.所以.                    9分
又平面的法向量                    10分
所以， 解得 ．          11分
所以的长为．                           12分
考点：直线与平面垂直，余弦定理，空间向量的应用.