Question

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，点D，D₁分别为棱BC，B₁C₁的中点．求证：
（Ⅰ）平面ADC₁⊥平面BCC₁B₁；
（Ⅱ）直线A₁D₁∥平面ADC₁．

Answer 1

分析：（1）利用线面平行的判定定理，只需证明平面外的直线平行于平面内的一条直线，证明A₁D₁∥AD即可；
（2）利用面面垂直的判定定理，只需证明一个平面经过另一个平面的垂直，证明AD⊥平面BCC₁B₁即可．

解答：证明：（Ⅰ）在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
∵CC₁⊥底面ABC，又AD?底面ABC
∴AD⊥CC₁…（2分）
∵点D为棱BC的中点∴AD⊥BC，…（4分）CC₁?平面BCC₁B₁，BC?平面BCC₁B₁CC₁∩BC=C，
∴AD⊥平面BCC₁B₁…（6分）
又∵AD?平面ADC₁∴平面ADC₁⊥平面BCC₁B₁…（7分）
（Ⅱ）证明：在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
∵CC₁⊥底面ABC，又AD?底面ABC
∴AD⊥CC₁…（9分）
∵点D为棱BC的中点，
∴AD⊥BC，…（10分）
CC₁?平面BCC₁B₁，BC?平面BCC₁B₁，CC₁∩BC=C，
∴AD⊥平面BCC₁B₁…（11分）
又∵AD?平面ADC₁，
∴平面ADC₁⊥平面BCC₁B₁…（12分）

点评：本题以正三棱柱为载体，考查线面、面面位置关系，考查面面角，解题的关键是正确掌握线面平行、面面垂直的判定定理．