Question

设定义域在R上的函数f(x)=a₀x⁴+a₁x³+a₂x²+a₃x，(a_i∈R，i=0，1，2，3)，当x=-时，f(x)取得极大值，并且导函数y=f′(x)的图像关于y轴对称，

(1)求f(x)的解析式；

(2)试在函数f(x)的图像上求两点，使以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间[-1，1]上；

(3)求证：|f(sinx)-f(cosx)|≤，(x∈R)．

Answer 1

解：(1)∵f′(x)=4a₀x³+3a₁x₂+2a₁x+a₃

由于f′(x)为偶函数  ∴a₀=a₁=0

∴f(x)=a₁x³+a₃x，f′(x)=3a₁x²+a₃

又∵x=-时，f(x)取得极大值

∴

即f(x)=x³-x.

(2)设所求点的横坐标为x₁、x₂（x₁＜x₂）

由已知这两点处切线斜率为

∵()·()=-1

∵x₁、x₂∈[-1，1]．  ∴∈[-1，1]

存在中有一个为1，另一个为-1.

∴

∴所求两点坐标为 (0，0)与(1，)或(0，0)与(-1，)

(3) ∵sinx,cosx∈[-1，1]

而f′(x)=2x²-1=0x=±

∴f(x)在[-1，]及[，1]上递减，

在[-，]上递减

即f(x)_极大值=f(-)=

f(x)_极小值=f()=-

而f(-1)=    f(-1）=-

∴f(x)_max=    f(x)_min=-

∴|f(sinx)-f(cosx)|≤|f(sinx)|+|f(cosx)|≤