Question

（2010•温州二模）设x=-

1

3

是函数f（x）=x³+mx²+mx-2的一个极值点．
（1）求函数f（x）的极值；
（2）若方程

f(-a)+f(a)

2

f（x）=在区间[-a，a]（a＞0）上恰有两个不同的实根，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先求导函数，利用x=-

1

3

是函数f（x）=x³+mx²+mx-2的一个极值点，可得f′(-

1

3

)=

1

3

+

1

3

m=0，从而可求m的值
进而可得函数的单调性，故可求f（x）的极大值与极小值；
（2）对参数a进行分类讨论：当0＜a＜1时，f（x）在[-a，-

1

3

]上单调递增，在[-

1

3

，a]上单调递减，从而方程f(x)=

f(-a)+f(a)

2

在区间[-a，a]上不可能有两个不同的根；当a＞1时，f（x）在[-a，-

1

3

]上单调递增，在[-

1

3

，1]上单调递减，在[1，a]上单调递增，从而方程f(x)=

f(-a)+f(a)

2

在区间[-a，a]上不可能有两个不同的根；当a=1时，f（x）在[-1，-

1

3

]上单调递增，在[-

1

3

，1]上单调递减，方程f(x)=

f(-1)+f(1)

2

=-3有两个根，故得解．

解答：解：（1）f′（x）=3x²+2mx+m …（1分）
∵x=-

1

3

是函数f（x）=x³+mx²+mx-2的一个极值点，
∴f′(-

1

3

)=

1

3

+

1

3

m=0
∴m=-1      …（3分）
∴f（x）=x³-x²-x-2，f′（x）=3x²-2x-1=（3x+1）（x-1）

x	(-∞，- 1 3 )	- 1 3	(- 1 3 ，1)	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	递增	极大值	递减	极小值	递增

∴f（x）有极大值f(-

1

3

)=-

49

27

，极小值f（1）=-3     …（5分）
（2）当0＜a＜1时，f（x）在[-a，-

1

3

]上单调递增，在[-

1

3

，a]上单调递减
∵[f(a)-

f(-a)+f(a)

2

]×[f(-a)-

f(-a)+f(a)

2

]=-[

f(a)-f(-a)

2

]2 ＜0
∴

f(-a)+f(a)

2

在f（-a）与f（a）之间
∴方程f(x)=

f(-a)+f(a)

2

在区间[-a，a]上不可能有两个不同的根．…（9分）
当a＞1时，f（x）在[-a，-

1

3

]上单调递增，在[-

1

3

，1]上单调递减，在[1，a]上单调递增
∴f（x）有极小值f（1）=-3
又∵

f(-a)+f(a)

2

=-a2-2＜-3=f(1)
∴方程f(x)=

f(-a)+f(a)

2

在区间[-a，a]上不可能有两个不同的根．…（12分）
当a=1时，f（x）在[-1，-

1

3

]上单调递增，在[-

1

3

，1]上单调递减
此时f（-1）=f（1）=-3
∴方程f(x)=

f(-1)+f(1)

2

=-3有两个根为±1．…（14分）
综上所述：a=1．…（15分）

点评：本题以函数为载体，考查函数的极值，考查函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，解题的关键是正确分类，确定函数的单调性，从而研究方程根问题．