Question

已知二次函数，及函数。
关于的不等式的解集为，其中为正常数。
（1）求的值；
（2）R如何取值时，函数存在极值点，并求出极值点；
（3）若，且，求证： 。

Answer 1

（1） （2）,
（3）可用数学归纳法证明

解析试题分析：（1）解：∵关于的不等式的解集为，
即不等式的解集为，
∴.              
∴.
∴.
∴.                   
(2)解法1:由(1)得.
∴的定义域为.
∴.           
方程（*）的判别式
.                    
当时， 对恒成立，方程（*）的两个实根为
             
则时，；时，.
∴函数在上单调递减，在上单调递增.
∴对任意实数k，函数都有极小值点.             
解法2:由(1)得.
∴的定义域为.
∴.             
若函数存在极值点等价于函数有两个不等的零点，且至少有一个零点在上.              
令,
得, (*)
则,(**)             
方程（*）的两个实根为, .
设,
①若,则