Question

【题目】如图，三角形所在的平面与长方形所在的平面垂直，.点是边的中点，点分别在线段，上，且.

(1)证明：；

(2)求二面角的正切值；

(3)求直线与直线PG所成角的余弦值．

Answer 1

【答案】⑴见证明；⑵；⑶

【解析】

（1）由面面垂直的性质得到平面，进而得到.

（2）由二面角的定义可知二面角的平面角为，在中求解即可.

（3）将直线与所成转化为直线与直线所成角，利用余弦定理求解.

(1)证明：因为，点是中点，所以.

又因为平面平面，交线为，所以平面.

又平面，所以.

(2)由(1)可知，.

因为四边形为长方形，所以.

又因为，所以平面.

而平面，所以.

由二面角的平面角的定义，可知为二面角的一个平面角．

在中，

所以

从而二面角的正切值为.

(3)连接.因为，所以.

易求得，

所以直线与直线所成角等于直线与直线所成角，即，

在中，

所以直线与直线所成角的余弦值为.