Question

8．已知正四棱台上、下底面的边长分别为4、10，侧棱长为6．
（1）求正四棱台的表面积；
（2）求正四棱台的体积．

Answer 1

分析 由题意画出图形，求出四棱台的高与斜高．
（1）由上下底面面积加侧面积求得四棱台的表面积；
（2）直接由棱台体积公式求解．

解答 解：如图，

ABCD-A₁B₁C₁D₁为正四棱台，AB=4，A₁B₁=10，AA₁=6．
在等腰梯形A₁B₁BA中，过A作AE⊥A₁B₁，可得${A}_{1}E=\frac{10-4}{2}=3$，
求得AE=$\sqrt{A{{A}_{1}}^{2}-{A}_{1}{E}^{2}}=3\sqrt{3}$．
连接AC，A₁C₁，可得AC=$4\sqrt{2}$，${A}_{1}{C}_{1}=10\sqrt{2}$，
过A作AG⊥A₁C₁，可得${A}_{1}G=\frac{10\sqrt{2}-4\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2}$．
∴$AG=\sqrt{A{{A}_{1}}^{2}-{A}_{1}{G}^{2}}=3\sqrt{2}$．
（1）正四棱台的表面积S=${4}^{2}+1{0}^{2}+4×\frac{1}{2}（4+10）×3\sqrt{3}=116+84\sqrt{3}$；
（2）${V}_{ABCD-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}{D}_{1}}=\frac{1}{3}×3\sqrt{2}（16+100+\sqrt{16×100}）$=$156\sqrt{2}$．

点评 本题考查棱台的面积和体积的求法，考查数形结合的解题思想方法，关键是熟记公式，是中档题．