Question

已知f（x）是定义域为R的奇函数，且f（2）=0，当x＞0时，2f（x）+xf′（x）＞0，则不等式f（x）＞0的解集为

（-2，0）∪（2，+∞）

．

Answer 1

分析：构造函数g（x）=x²f（x），求出g′（x）根据导函数与函数单调性的关系判断出当x＞0时，g（x）=x²f（x）单调递增；根据f（x）是定义域为R的奇函数，判断出g（x）为R上的奇函数，结合g（x）的性质得到g（x）＞0的解集，进一步求出所以不等式f（x）＞0的解集．

解答：解：构造函数g（x）=x²f（x），
所以g′（x）=2xf（x）+x²f′（x），
因为当x＞0时，2f（x）+xf′（x）＞0，
所以当x＞0时，g′（x）＞0，
所以当x＞0时，g（x）=x²f（x）单调递增；
因为f（x）是定义域为R的奇函数，
所以g（x）=x²f（x）为R上的奇函数，
所以g（0）=0，g（x）在x＜0时也为增函数，
因为f（2）=0，
所以g（2）=0，
所以g（x）＞0的解集为{x|-2＜x＜0或x＞2}
所以不等式f（x）＞0的解集为 （-2，0）∪（2，+∞）；
故答案为：（-2，0）∪（2，+∞）

点评：本题通过导函数的符号与函数单调性的关系；考查根据函数的单调性与奇偶性解不等式，属于一道中档题．