Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知ba_n-2ⁿ=（b-1）S_n
（1）证明：当b=2时，{an-n•2n-1}是等比数列；
（2）求{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析：（1）当b=2时，由题设，再写一式，两式相减，可得a_n+1-（n+1）•2ⁿ=2a_n+2ⁿ-（n+1）•2ⁿ=2（a_n-n•2^n-1），所以{a_n-n•2^n-1}是首项为1，公比为2的等比数列；
（2）当b=2时，由题设条件知a_n=（n+1）2^n-1；当b≠2时，可得a_n+1-

1

2-b

•2ⁿ⁺¹=ba_n+2ⁿ-

1

2-b

•2ⁿ⁺¹=ba_n-

b

2-b

•2ⁿ=b（a_n-

1

2-b

•2ⁿ），由此能够导出{a_n}的通项公式．

解答：（1）证明：由题意知a₁=2，且ba_n-2ⁿ=（b-1）S_n，
ba_n+1-2ⁿ⁺¹=（b-1）S_n+1
两式相减得b（a_n+1-a_n）-2ⁿ=（b-1）a_n+1
即a_n+1=ba_n+2ⁿ①
当b=2时，由①知a_n+1=2a_n+2ⁿ
于是a_n+1-（n+1）•2ⁿ=2a_n+2ⁿ-（n+1）•2ⁿ=2（a_n-n•2^n-1）
又a₁-1•2⁰=1≠0，所以{a_n-n•2^n-1}是首项为1，公比为2的等比数列；
（2）解：当b=2时，由（1）知a_n-n•2^n-1=2^n-1，即a_n=（n+1）2^n-1，
当b≠2时，由①得a_n+1-

1

2-b

•2ⁿ⁺¹=ba_n+2ⁿ-

1

2-b

•2ⁿ⁺¹=ba_n-

b

2-b

•2ⁿ=b（a_n-

1

2-b

•2ⁿ）
因此a_n+1-

1

2-b

•2ⁿ⁺¹=b（a_n-

1

2-b

•2ⁿ）=

2(1-b)

2-b

•bⁿ，
即a_n+1=

1

2-b

•2ⁿ⁺¹+

2(1-b)

2-b

•bⁿ，
所以a_n=

1

2-b

•2ⁿ+

2(1-b)

2-b

•b^n-1

点评：本题重点考查数列的递推公式，利用递推公式求数列的通项公式，同时考查分类讨论思想，属于中档题．