Question

（2009•黄冈模拟）已知A（1，0），B（-2，0），动点M满足∠MBA=2∠MAB（∠MAB≠0）．
（1）求动点M的轨迹E的方程；
（2）若直线l：y=

1

3

x+b，且轨迹E上存在不同两点C、D关于直线l对称．
①求实数b的取值范围；
②是否可能有A、B、C、D四点共圆？若可能，求实数b的值；若不可能，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）如何体现动点M满足的条件∠MBA=2∠MAB是解决本题的关键．用动点M的坐标体现∠MBA=2∠MAB的最佳载体是直线MA、MB的斜率．
（2）先设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），CD的中点（x₀，y₀）（x₁，x₂，x₀＜-1）．由点差法有y₀=-x₀．又y0=

1

3

x0+b；所以x0=-

3

4

b，y0=

3

4

b．又直线CD的方程为y=-3x-

3

2

b．将直线的方程代入（1）的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用到角公式即可求得b值，从而解决问题．

解答：解：（1）设动点M的坐标为（x，y），则tan∠MBA=

|y|

x+2

，tan∠MAB=

|y|

1-x

．
由∠MBA=2∠MAB（∠MAB≠0），得

|y|

x+2

=

2 |y| 1-x

1-( |y| 1-x )2

，
化简得3x²-y²=3，
当∠MBA=

π

2

时也满足．
显然，动点M在线段AB的中垂线的左侧，且∠MAB≠0，
故轨迹E的方程为 3x²-y²=3（x＜-1）．
（2）设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），CD的中点（x₀，y₀）（x₁，x₂，x₀＜-1）．
由点差法有 

y1-y2

x1-x2

•

y1+y2

x1+x2

=3，即y₀=-x₀．
又y0=

1

3

x0+b；所以x0=-

3

4

b，y0=

3

4

b．
①由3(-

3

4

b)2-(

3

4

b)2＞3及x0=-

3

4

b＜-1得，b＞

2

3

6

．
②直线CD的方程为y-

3

4

b=-3(x-

3

4

b)，即y=-3x-

3

2

b．（b≠2）
上式代入3x²-y²=3得，8x²+12bx+3b²+4=0，
所以△=16（3b²-8），x1+x2=-

3

2

b，x1x2=

3b2+4

8

，x2-x1=

3b2-8

2

．
若A、B、C、D四点共圆，则∠CAD=60°，由到角公式可得 

y2(x1-1)-y1(x2-1)

(x1-1)(x2-1)+y1y2

=

3

即 

( 3 2 b+3)(x2-x1)

10x1x2+( 9 2 b-1)(x1+x2)+ 9 4 b2+1

=

3

，即 

3b2-8

=

3

(4-b)；解得b=

7

3

．
故可能有A、B、C、D四点共圆，此时b=

7

3

．

点评：求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数法，本题主要用直接法，直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程．