Question

已知直线l₁方程为x+y-3=0与x轴交于点A，直线l₂方程是y=2x，l₂与l₁交于点B，点C在y轴负半轴上，AC=2

3

．
（1）写出点A、B、C的坐标；
（2）求△ABC的面积；
（3）求△ABC外接圆方程．

Answer 1

分析：（1）对于直线l₁方程为x+y-3=0，令y=0，解得x，即可得到A．联立

y=2x x+y-3=0

，解得B．设C（0，y）（y＜0），利用两点间的距离公式及|AC|=2

3

，解得y即可．
（2）利用点斜式可得直线AC的方程，再利用点到直线的距离公式可得点B到直线AC的距离d，即可得到S△ABC=

1

2

|AC|•d
（3）设△ABC外接圆方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，把A（3，0），B（1，2），C（0，-

3

）代入得解出即可．

解答：解：（1）对于直线l₁方程为x+y-3=0，令y=0，解得x=3，∴A（3，0）．
联立

y=2x x+y-3=0

，解得

x=1 y=2

，∴B（1，2）．
设C（0，y）（y＜0），∵|AC|=2

3

，∴

32+y2

=2

3

，解得y=-

3

，∴C(0，-

3

)．
（2）直线AC的方程为y=

0+ 3

3-0

x-

3

，化为x-

3

y-1=0，
点B到直线AC的距离d=

|1-2 3 -1|

1+( 3 )2

=

3

，
∴S△ABC=

1

2

|AC|•d=

1

2

×2

3

×

3

=3．
（3）设△ABC外接圆方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，把A（3，0），B（1，2），C（0，-

3

）代入得

9+3D=0 1+22+D+2E+F=0 3- 3 E+F=0

，解得D=-3，E=2-

3

，F=2

3

-6．
∴△ABC外接圆方程为x2+y2-3x+(2-

3

)y+2

3

-6=0．

点评：熟练掌握直线的交点与方程联立的关系、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式、三角形外接圆的一般式方程等是解题的关键．