Question

【题目】某校为了普及环保知识，增强学生的环保意识，在全校组织了一次有关环保知识的竞赛．经过初赛、复赛，甲、乙两个代表队（每队3人）进入了决赛，规定每人回答一个问题，答对为本队赢得10分，答错得0分．假设甲队中每人答对的概率均为 ，乙队中3人答对的概率分别为 ， ， ，且各人回答正确与否相互之间没有影响，用ξ表示乙队的总得分． （Ⅰ）求ξ的分布列和数学期望；
（Ⅱ）求甲、乙两队总得分之和等于30分且甲队获胜的概率．

Answer 1

【答案】解：由题意知，ξ的可能取值为0，10，20，30，

由于乙队中3人答对的概率分别为 ， ， ，

P（ξ=0）=（1﹣ ）×（1﹣ ）×（1﹣ ）= ，

P（ξ=10）= ×（1﹣ ）×（1﹣ ）+（1﹣ ）× ×（1﹣ ）+（1﹣ ）×（1﹣ ）× = = ，

P（ξ=20）= × ×（1﹣ ）+（1﹣ ）× × + ×（1﹣ ）× = = ，

P（ξ=30）= × × = ，

∴ξ的分布列为：

ξ	0	10	20	30
P

∴Eξ=0× +10× +20× +30× = ．

（Ⅱ）由A表示“甲队得分等于30乙队得分等于0”，B表示“甲队得分等于20乙队得分等于10”，可知A、B互斥．

又P（A）= = ，P（B）= × × = ，

则甲、乙两队总得分之和等于30分且甲队获胜的概率为

P（A+B）=P（A）+P（B）= =

【解析】（Ⅰ）由题意知，ξ的可能取值为0，10，20，30，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ；（Ⅱ）由A表示“甲队得分等于30乙队得分等于0”，B表示“甲队得分等于20乙队得分等于10”，可知A、B互斥．利用互斥事件的概率计算公式即可得出甲、乙两队总得分之和等于30分且甲队获胜的概率．