Question

已知不等式

1

sin2θ

+

m+1

cos2θ

≥16对任意θ∈R且θ≠kπ，θ≠kπ+

π

2

，(k∈Z）恒成立，则正实数m的最小值为：

 

．

Answer 1

分析：先由柯西不等式得：（

1

sin2θ

+

m+1

cos2θ

）（sin²θ+cos²θ）≥（1+

m+1

）² 即

1

sin2θ

+

m+1

cos2θ

≥（1+

m+1

）²，再结合题中条件得出：（1+

m+1

）²≥16，从而得出正实数m的最小值．

解答：解：由柯西不等式得：
（

1

sin2θ

+

m+1

cos2θ

）（sin²θ+cos²θ）≥（1+

m+1

）²
 即

1

sin2θ

+

m+1

cos2θ

≥（1+

m+1

）²
∵不等式

1

sin2θ

+

m+1

cos2θ

≥16对任意θ∈R且θ≠kπ，θ≠kπ+

π

2

，(k∈Z）恒成立，
∴（1+

m+1

）²≥16，
∴m≥8
则正实数m的最小值为8
故答案为：8．

点评：本小题主要考查柯西不等式、恒成立问题、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力与转化思想．属于基础题．