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    【题目】设函数，.

    （1）当时，求的值域；

    （2）当时，不等式恒成立（是的导函数），求实数的取值范围.

    【答案】（1）；（2）

    【解析】

    （1）求导，令，求出极值点，利用导数求出函数的单调性，即可得出内的最值，即可得出值域；

    （2）根据题意，构造新函数，将不等式的恒成立问题，转化为在内的恒成立问题，求导，再二次求导，通过单调性求出最值，即可求出参数的取值范围.

    （1）由题可得.

    令，得.

    当时，，当时，，

    所以，

    .

    因为，所以，

    所以的值域为.

    （2）由得，

    即.

    设，则.

    设，则.

    当时，，，所以.

    所以即在上单调递增，则.

    若，则，所以在上单调递增.

    所以恒成立，符合题意.

    若，则，必存在正实数，

    满足：当时，，单调递减，此时，不符合题意.

    综上所述，的取值范围是.

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