Question

【题目】已知圆C过点（1，2）和（2，1），且圆心在直线x+y﹣4=0上．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）若一束光线l自点A（﹣3，3）发出，射到x轴上，被x轴反射到圆C上，若反射点为M（a，0），求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）设圆心坐标为（x，4﹣x），则（x﹣1）2+（2﹣x）2=（x﹣2）2+（3﹣x）2 ，
∴x=2，
∴C（2，2），
∴圆C的方程C：（x﹣2）2+（y﹣2）2=1；
（Ⅱ）A关于x轴的对称点A′（﹣3，﹣3），设过A′的直线为y+3=k（x+3），
当该直线与⊙C相切时，有=1，∴k=或k=
∴过A′，⊙C的两条切线为y+3=（x+3），y+3=（x+3），
令y=0，得x1=﹣，x2=1
∴反射点M在x轴上的范围是[﹣，1]．
【解析】（Ⅰ）求出圆心坐标与半径，即可求圆C的方程；
（Ⅱ）由题意，可知反射线必过定点A′（点是点A关于x轴对称的点），利用几何知识知当反射线与已知圆相切时恰好为范围的临界状态．
【考点精析】解答此题的关键在于理解圆的标准方程的相关知识，掌握圆的标准方程：；圆心为A(a,b),半径为r的圆的方程．