Question

【题目】设函数（x∈R，实数a∈[0，+∞），e=2.71828…是自然对数的底数，）．

（Ⅰ）若f（x）≥0在x∈R上恒成立，求实数a的取值范围；

（Ⅱ）若ex≥lnx+m对任意x＞0恒成立，求证：实数m的最大值大于2.3．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析

【解析】

（Ⅰ）分离参数，构造函数，利用导数求出函数的最值，问题得以解决；

（Ⅱ）构造函数设，利用导数求出函数的最值，即可证明．

（Ⅰ）∵，f（x）≥0在x∈R上恒成立，∴a≤，

设h（x）=，∴h′（x）=，令h′（x）=0，解得x=，

当x＞，即h′（x）＞0，函数单调递增，

当x＜，即h′（x）＜0，函数单调递减，

∴h（x）min=h（）=，∴0＜a≤，

故a的取值范围为；

（Ⅱ）设，

∴，g'（x）＞0，可得；g'（x）＜0，可得．

∴g（x）在（，+∞）上单调递增；在上单调递减．

∴g（x）≥g（）=，∵，

∴＞1.6，∴g（x）＞2.3．

由（Ⅰ）可得exx，

∴ex﹣lnx的最小值大于2.3，

故若ex≥lnx+m对任意x＞0恒成立，则m的最大值一定大于2.3．