Question

20．在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PA上的一点．
（1）求证：平面PAC⊥平面PCD；
（2）当点E在什么位置时，BE∥平面PCD．

Answer 1

分析 （1）由已知推导出PA⊥CD，AC⊥CD，从而CD⊥平面PAC，由此能证明平面PAC⊥平面PCD．
（2）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出当E为PA中点时，BE∥平面PCD．

解答 证明：（1）∵PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，
∴PA⊥CD，
∵AC⊥CD，PA∩AC=A，
∴CD⊥平面PAC，
∵CD?平面PCD，∴平面PAC⊥平面PCD．
解：（2）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，
设PA=AB=BC=2，∵∠ABC=60°，AC⊥CD，
∴C（1，$\sqrt{3}$，0），D（0，$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，0），
B（2，0，0），P（0，0，2），设E（0，0，t），0≤t≤2，
$\overrightarrow{BE}$=（-2，0，t），$\overrightarrow{PC}$=（1，$\sqrt{3}$，-2），$\overrightarrow{PD}$=（0，$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，-2），
设平面PDC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=x+\sqrt{3}y-2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PD}=\frac{4\sqrt{3}}{3}y-2z=0}\end{array}\right.$，取y=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{n}$=（1，$\sqrt{3}$，2），
∵BE∥平面PCD，∴$\overrightarrow{BE}•\overrightarrow{n}$=-2+2t=0，解得t=1，
∴当E为PA中点时，BE∥平面PCD．

点评 本题考查面面垂直的证明，考查线面平行时点的位置的确定，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．