Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1的一条弦所在直线方程是x-y+3=0，弦的中点坐标是（-2，1），则椭圆的离心率是（　　）

• A．

  1

  2

• B．

  2

  2

• C．

  3

  2

• D．

  5

  5

Answer 1

分析：设出以M为中点的弦的两个端点的坐标，代入椭圆的方程相减，把中点公式代入，可得弦的斜率与a，b的关系式，从而求得椭圆的离心率．

解答：解：显然M（-2，1）在椭圆内，设直线与椭圆的交点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则

x 2 1

a 2

+

y 2 1

b2

=1，

x 2 2

a2

+

y 2 2

b2

=1，相减得：

(x2-x1)(x2+x1)

a2

+

(y1+y2)(y2-y1)

b2

=0，
整理得：k=-

b2(x1+x2)

a2(y1+y2)

=1，
又弦的中点坐标是（-2，1），
∴

x 1+x2=-4 y 1+y 2=2

，
∴

b 2

a 2

=

1

2

，
则椭圆的离心率是e=

c

a

=

a 2-b2

a

=

2

2

．
故选B．

点评：本题考查椭圆的标准方程和简单性质，中点公式及斜率公式的应用，以及直线方程，属于基础题．本题解题中直接利用点差法巧妙用上了中点坐标公式与弦的斜率，方法极为巧妙，此方法即为通常所说的点差法，研究弦中点问题时经常采用此方法