Question

如图，点为圆形纸片内不同于圆心的定点，动点在圆周上，将纸片折起，使点与点重合，设折痕交线段于点.现将圆形纸片放在平面直角坐标系中，设圆：,记点的轨迹为曲线.

⑴证明曲线是椭圆，并写出当时该椭圆的标准方程；

⑵设直线过点和椭圆的上顶点，点关于直线的对称点为点，若椭圆的离心率，求点的纵坐标的取值范围.

Answer 1

解：⑴依题意得，直线m为线段AM的中垂线，∴NA=NM

   ∴NC+NA=NC+NM=CM=2a>2。

∴N点的轨迹是以C、A为焦点，长轴为2a，焦距为2的椭圆。    ……………4分

   当a=2时，2a=4，焦距2C=2 ∴b²=3

∴椭圆方程为。 ……………………………………………………………6分

⑵设椭圆的标准方程为，由⑴知：b²=a²−1

又C(−1，0)，B(0，b)，

∴直线l的方程为，即bx−y+b=0         …………………………8分

设Q(x，y)，因为点Q与点A(1，0)关于直线l对称。

∴，消去x，得：       …………………………10分

∵离心率e∈[，]， ∴≤e²≤，  即≤≤，  ∴≤a²≤4  ……………12分

∴≤b²+1≤4，即≤b≤。

∴≤2，当且仅当b=1时取等号。        ……………………14分

又当b=时，y=；当b=时，y=，∴≤y≤2。

∴点Q的纵坐标的取值范围时[，2]。          ………………………………16分