Question

已知△AOB，点P在直线AB上，且满足

OP

=t

OB

+2t

PA

，t∈R，则

| PA |

| PB |

=

 

．

Answer 1

分析：把

PA

=

OA

-

OP

代入所给的式子进行化简，再由

AP

与

PB

共线，设

AP

=m

PB

根据定比分点公式求出t和m关系，由向量共线的等价条件列出由关

OP

、

OA

和

OB

的式子，根据向量相等求出t的值．

解答：解：∵

OP

=t

OB

+2t

PA

，t∈R，且

PA

=

OA

-

OP

，
∴（1+2t）

OP

=2t

OA

+t

OB

，即

OP

=

2t

1+2t

OA

+

t

1+2t

OB

，①
∵点P在直线AB上，∴设

AP

=m

PB

，即|

AP

|：|

PB

|=m，
根据定比分点公式得，t=

1

1+m

，∵

OP

=t

OA

+（1-t）

OB

，②，
由①②和向量相等得，

2t 1+2t =t t 1+2t =(1-t)

，解得t=

1

2

或

2

3

，
∵t=

1

1+m

，∴m=1或

1

2

，
∴

| PA |

| PB |

=1或

1

2

．
故答案为：1或

1

2

．

点评：本题考查了向量共线的等价条件和向量相等的应用，利用向量的线性运算列出方程，由向量共线构造方程，再根据向量相等求出参数的值．