Question

设定义域都为[

2

，8]的两个函数f（x）和g（x）的解析式分别为f(x)=log2

x

4

和g(x)=log4

x

2

，
（1）求函数F（x）=f（x）+g（x）的值域；
（2）求函数G（x）=f（x）•g（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）由已知及对数的运算性质，化简函数，利用对数函数的单调性，即可求函数F（x）=f（x）+g（x）的值域；
（2）由已知及对数的运算性质，化简函数，利用换元及配方法，可求函数的值域．

解答：解：（1）由已知及对数的运算性质可得，F(x)=f(x)+g(x)=log2

x

4

+log4

x

2

=log2x-log24+log4x-log42
=log2x-2+

1

2

log2x-

1

2

=

3

2

log2x-

5

2

，x∈[

2

，8]，-----（2分）
因为

2

≤x≤8，且log₂x的值随着x的增大而增大，----------（3分）
所以log2

2

≤log2x≤log28，即

1

2

≤log2x≤3，--------（4分）
故-

7

4

≤

3

2

log2x-

5

2

≤2，即-

7

4

≤F(x)≤2---------------（5分）
所以函数F（x）的值域为[-

7

4

，2]---------------------（6分）
（2）由已知及对数的运算性质可得，G(x)=f(x)•g(x)=log2

x

4

•log4

x

2

=(log2x-2)•(

1

2

log2x-

1

2

)
=

1

2

(log2x)2-

3

2

log3x+1，x∈[

2

，8]，--------（8分）
令t=log2x，x∈[

2

，8]，则有

1

2

≤t≤3，
于是有函数y=

1

2

t2-

3

2

t+1，t∈[

1

2

，3]，
所以ymin=

4× 1 2 ×1-(- 3 2 )2

4× 1 2

=-

1

8

，ymax=max{

1

2

×(

1

2

)2-

3

2

×

1

2

+1，

1

2

×32-

3

2

×3+1}=max{

3

8

，1}=1--------（11分）
因此-

1

8

≤y≤1，即-

1

8

≤G(x)≤1，
所以函数G（x）的值域为[-

1

8

，1]．-----------（12分）

点评：本题考查函数的值域，考查函数的单调性，考查配方法的运用，属于中档题．