Question

【题目】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，PA=PD，∠DAB=60°.

(1)证明：AD⊥PB.

(2)若PB=，AB=PA=2，求三棱锥P-BCD的体积。

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)1

【解析】

(1)取AD的中点O, 连接P0，BO，BD，利用三线合一得出BO⊥AD，PO⊥AD，故AD⊥平面PBO，，于是AD⊥PB。（2）利用勾股定理得出PO⊥BO，可得PO⊥平面ABCD，用棱锥的体积公式计算即可

(1)证明:取AD的中点O，连接P0，BO，BD，

∵底面ABCD是等边三角形

∴BO⊥AD，

又∵PA=PD，即ΔPAD等腰三角形，

∴PO⊥AD，

又∵POBO=0.

∴AD⊥平面PBO，

又∵PB平面PBO.

∴AD⊥PB；

(2)解:AB=PA=2

∴由（1）知ΔPAD是边长为2的正三角形，则PO=.

又∵PB=，

∴PO2+BO2=PB2，即PO⊥BO，

又由(1)知，PO⊥AD.且BOAD=O.

∴PO⊥平面ABCD.

∴

∴三棱锥P-BCD的体积为1.