Question

（本小题满分12分）
设函数.
⑴ 当时,求函数在点处的切线方程；
⑵ 对任意的函数恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

（1）；（2）

本试题主要是考查了导数的几何意义的运用和利用导数证明不等式的恒成立问题的综合运用问题。
（1）首先求解函数解析式，然后求导，得到导数，代入点的坐标，得到切线方程。
（2）根据对任意的函数恒成立，只要研究函数f(x)在给定区间的最小值大于等于零即可。需要对参数a分类讨论，得到最值。
解：（1）当时,
由，则                      ---------3分
函数在点处的切线方程 为                         
即                                               ---------4分
(2)                   ---------5分
易知，，则
当即时，由得恒成立，
在上单调递增， 符合题意。所以 ---------7分
当时，由得恒成立，在上单调递减，
显然不成立，舍去。                         ---------8分
当时，由，得即
则
因为，所以。时，恒成立，
在上单调递减，显然不成立，舍去。---------11分
综上可得:                                           --------------12分