Question

 （本题满分12分）设正项数列的前项和，且满足.

（Ⅰ）计算的值，猜想的通项公式，并证明你的结论；

（Ⅱ）设是数列的前项和，证明：.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）；；.猜想，用数学归纳法证明；（Ⅱ）先利用数列知识求和，然后利用放缩法证明或者利用数学归纳法证明

【解析】

试题分析：（Ⅰ）当n=1时，，得；，得；

，得.猜想                2’

证明：（ⅰ）当n=1时，显然成立.

（ⅱ）假设当n=k时，                       1’

则当n=k+1时，

结合，解得                   2’

于是对于一切的自然数，都有             1’

（Ⅱ）证法一：因为，         3’

  .3’

证法二：数学归纳法

证明：（ⅰ）当n=1时，，，           1’

（ⅱ）假设当n=k时，            1’

则当n=k+1时，

要证：

只需证：

由于

所以               3’

于是对于一切的自然数，都有               1’

考点：本题考查了数学归纳法的运用

点评：运用数学归纳法，可以证明下列问题：与自然数n有关的恒等式、代数不等式、三角不等式、数列问题、几何问题、整除性问题等等。