Question

（2009湖南卷文）（本小题满分12分）

   如图3，在正三棱柱中，AB=4, ,点D是BC的中点，点E在AC上，且DEE.

（Ⅰ）证明：平面平面;    

（Ⅱ）求直线AD和平面所成角的正弦值。

Answer 1

解析:（Ⅰ）如图所示，由正三棱柱的性质知平面.

又DE平面ABC，所以DE.而DEE，,

所以DE⊥平面.又DE 平面，

故平面⊥平面.

 

（Ⅱ）解法 1:  过点A作AF垂直于点,

连接DF.由（Ⅰ）知，平面⊥平面，

所以AF平面,故是直线AD和

平面所成的角。    因为DE，

所以DEAC.而ABC是边长为4的正三角形，

于是AD=，AE=4-CE=4-=3.

又因为，所以E= = 4,            

 ,  .

即直线AD和平面所成角的正弦值为     .

解法2 : 如图所示，设O是AC的中点，以O为原点建立空间直角坐标系，

则相关各点的坐标分别是A(2,0,0,),  (2,0,), D(-1, ,0),  E(-1,0,0).

易知=（-3，，-），=（0，-，0），=（-3，，0）.

设是平面的一个法向量，则

解得.

故可取.于是   

 

=     .            

由此即知，直线AD和平面所成角的正弦值为     .