Question

已知函数f（x）=ax²-g^x（a∈R），f′（x）是f（x）的导函数（g为自然对数的底数）
（Ⅰ）解关于x的不等式：f（x）＞f′（x）；
（Ⅱ）若f（x）有两个极值点x₁，x₂，求实数a的取值范围．

Answer 1

解：（Ⅰ）求导数可得f′（x）=2ax-g^x，∴f（x）-f′（x）=ax（x-2）…（4分）
原不等式等价于f（x）-f′（x）=ax（x-2）＞0，
当a=0时，无解； …（5分）
当a＞0时，解集为{x|x＜0，或x＞2}； …（6分）
当a＜0时，解集为{x|0＜x＜2} …（7分）
（Ⅱ）设g（x）=f′（x）=2ax-g^x，
则x₁，x₂是方程g（x）=0的两个根，则g′（x）=2a-g^x…（9分）
若a≤0时，g′（x）＜0恒成立，g（x）单调递减，方程g（x）=0不可能有两个根…（11分）
若a＞0时，由g′（x）=0，得x=ln2a，
当x∈（-∞，ln2a）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，
当x∈（ln2a，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减 …（13分）
∴g_max（x）=g（ln2a）=2aln2a-2a＞0，解得a＞ …（15分）
分析：（Ⅰ）原不等式等价于ax（x-2）＞0，分a=0，a＞0，和a＜0讨论可得；
（Ⅱ）设g（x）=f′（x），则x₁，x₂是方程g（x）=0的两个根，求导数可得g′（x），若a≤0时，不合题意，若a＞0时，求导数可得单调区间，进而可得最大值，可得关于a的不等式，解之可得．
点评：本题考查利用导数研究函数的极值，涉及分类讨论的思想，属中档题．