Question

点P在以F₁，F₂为焦点的双曲线E：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）上，已知PF₁⊥PF₂，|PF₁|=2|PF₂|，O为坐标原点．
（Ⅰ）求双曲线的离心率e；
（Ⅱ）过点P作直线分别与双曲线渐近线相交于P₁，P₂两点，且

OP1

•

OP2

=-

27

4

，2

PP1

+

PP2

=

0

，求双曲线E的方程；
（Ⅲ）若过点Q（m，0）（m为非零常数）的直线l与（2）中双曲线E相交于不同于双曲线顶点的两点M、N，且

MQ

=λ

QN

（λ为非零常数），问在x轴上是否存在定点G，使

F1F2

⊥(

GM

-λ

GN

)？若存在，求出所有这种定点G的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（I）|PF₁|=2|PF₂|，|PF₁|-|PF₂|=2a求得|PF₁|=4a，|PF₂|=2a，结合垂直关系利用勾股定理即可求得双曲线的离心率e；
（II）先设出E：

x2

a2

-

y2

4a2

=1，渐近线为y=±2x设P₁（x₁，2x₁），P₂（x₂，-2x₂），P（x，y）利用向量的运算即可求得a值，从而求得双曲线E的方程．
（III）对于存在性问题，可先假设存在，即假设在x轴上存在定点G（t，0），再利用根与系数的关系，求出t的值，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．

解答：解：（I）|PF₁|=2|PF₂|，|PF₁|-|PF₂|=2a，∴|PF₁|=4a，|PF₂|=2a
∵PF1⊥PF2∴(4a)2+(2a)2=(2c)2∴e=

5

（II）E：

x2

a2

-

y2

4a2

=1
渐近线为y=±2x设P₁（x₁，2x₁），P₂（x₂，-2x₂），P（x，y）

OP1

•

OP2

=-3x1x2=-

27

4

，∴x1x2=

9

4

，
∵2

PP1

+

PP2

=

0

∴x=

2x1+x2

3

，y=

2(2x1-x2)

3

代入E化简x1x2=

9

8

a2，∴a²=2
∴

x2

2

-

y2

8

=1

（III）假设在x轴上存在定点G（t，0）
使

F1F2

⊥(

GM

-λ

GN

)，
设l：x=ky+m，M（x₃，y₃），N（x₄，y₄）
联立l与E的方程得（4k²-1）y²+8kmy+4m²-8=0
故

y3+y4= -8km 4k2-1 (1) y3y4= 4m2-8 4k2-1 (2)

GM

-λ

GN

=(x3-t-λx4+λt，y3-λy4)，

F1F2

=(2

10

，0)

F1F2

⊥(

GM

-λ

GN

)?x₃-t-λx₄+λt=0?k（y₃-λy₄）+（1-λ）m+（λ-1）t=0（3）
由

MQ

=λ

QN

∴y₃+λy₄=0∴y₃=-λy₄（4）
∴（3）即为2ky₃+（1-λ）m+（λ-1）t=0（5），将（4）代入（1）（2）
有y3=(λ-1)

m2-2

2km

代入（5）得t=

2

m

故在x轴上存在定点G(

2

m

，0)使

F1F2

⊥(

GM

-λ

GN

)．

点评：本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合问题、向量的运算、双曲线方程等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于中档题．