Question

（2013•宝山区二模）已知点A（1，0），P₁、P₂、P₃是平面直角坐标系上的三点，且|AP₁|、|AP₂|、|AP₃|成等差数列，公差为d，d≠0．
（1）若P₁坐标为（1，-1），d=2，点P₃在直线3x-y-18=0上时，求点P₃的坐标；
（2）已知圆C的方程是（x-3）²+（y-3）²=r²（r＞0），过点A的直线交圆于P₁、P₃两点，P₂是圆C上另外一点，求实数d的取值范围；
（3）若P₁、P₂、P₃都在抛物线y²=4x上，点P₂的横坐标为3，求证：线段P₁P₃的垂直平分线与x轴的交点为一定点，并求该定点的坐标．

Answer 1

分析：（1）利用P₁坐标为（1，-1），d=2，求出|AP₃|，利用点P₃在直线3x-y-18=0上，解方程组即可求点P₃的坐标；
（2）求出圆C的方程是（x-3）²+（y-3）²=r²（r＞0），的圆心与半径，求出点A与圆的圆心的距离，通过A在圆内与圆外，分别求实数d的取值范围；
（3）利用P₁、P₂、P₃都在抛物线y²=4x上，抛物线的定义，求出线段P₁P₃的斜率，求出直线方程，通过y=0，推出直线与x轴的交点为一定点，即可求该定点的坐标．

解答：解（1）因为|AP₁|、|AP₂|、|AP₃|成等差数列，且|AP₁|=1，d=2，所以|AP₃|=5，
设P₃（x，y）
则

(x-1)2+y2=25 3x-y-18=0

，消去y，得x²-11x+30=0，…（2分）
解得x₁=5，x₂=6，所以P₃的坐标为（5，-3）或（6，0）
（2）由题意可知点A到圆心的距离为t=

(3-1)2+(3-0)2

=

13

…（6分）
（ⅰ）当0＜r≤

13

时，点A（1，0）在圆上或圆外，|2d|=||AP₃|-|AP₁||=|P₁P₃|，
又已知d≠0，0≤|P₁P₃|≤2r，所以-r≤d＜0或 0＜d≤r
（ⅱ）当r＞

13

时，点A（1，0）在圆内，所以|2d|max=||

13

+r|-|r-

13

||=2

13

，
又已知d≠0，0＜|2d|≤2

13

，即-

13

≤d＜0或0＜d≤

13

结论：当0＜r＜

13

时，-r≤d＜0或 0＜d≤r；当r≥

13

时，-

13

≤d＜0或0＜d≤

13

（3）因为抛物线方程为y²=4x，所以A（1，0）是它的焦点坐标，
点P₂的横坐标为3，即|AP₂|=4
设P₁（x₁，y₁），P₃（x₃，y₃），则|AP₁|=x₁+1，|AP₃|=x₃+1，|AP₁|+|AP₃|=2|AP₂|，
所以x₁+x₃=2x₂=6
直线P₁P₃的斜率k=

y3-y1

x3-x1

=

4

y3+y1

，则线段P₁P₃的垂直平分线l的斜率kl=-

y3+y1

4

则线段P₁P₃的垂直平分线l的方程为y-

y3+y1

2

=-

y3+y1

4

(x-3)
直线l与x轴的交点为定点（5，0）

点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，直线与圆的位置关系的综合应用，直线系方程的应用，考查分析问题解决问题的能力，转化思想的应用与计算能力的考查．