Question

三棱锥S-ABC中，SA⊥AB，SA⊥AC，AC⊥BC且AC=2，BC=

13

，SB=

29

．
（1）证明：SC⊥BC；
（2）求三棱锥的体积V_S-ABC．

Answer 1

分析：（1）因为SA⊥面ABC，AC为SC在面ABC内的射影，由三垂线定理可直接得证．
（2）由题意可直接找出侧面SBC与底面ABC所成二面角的平面角是∠SCA，在直角三角形中求解即可．

解答：解：（1）∵SA⊥AB SA⊥AC AB∩AC=A
∴SA⊥平面ABC，∴AC为SC在平面ABC内的射影，
又∵BC⊥AC，由三重线定理得：SC⊥BC
（2）在△ABC中，AC⊥BC，AC=2，BC=

13

，∴AB=

4+13

=

17

，
∵SA⊥AB，∴△SAB为Rt△，SB=

29

，∴SA=

29-17

=2

3

，
∵SA⊥平面ABC，∴SA为棱锥的高，
∴V_S-ABC=

1

3

×

1

2

×AC×BC×SA=

1

6

×2×

13

×2

3

=

2 39

3

．

点评：本题考查了三垂线定理的应用，考查了棱锥的体积计算及学生的推理论证能力，计算能力；三垂线定理也可看作是线线垂直的判定定理，是证明异面直线垂直的常用方法．