Question

如图所示,已知抛物线y²=2px(p＞0)，A、B是抛物线上不重合的任意两个点，F是抛物线的焦点，且∥，=+，O为坐标原点.

（1）若+=0，求点M的坐标；

（2）求动点M的轨迹方程；

（3）求||的最小值.

Answer 1

思路解析：（1）易求；（2）直接法，注意要“设而不求”;（3）二次函数区间上的最值问题，要注意讨论.

解：设A、B的坐标分别为（x₁，y₁）、（x₂，y₂），

则y₁²=2px₁，y₂²=2px₂.

（1）=(x₁-，y₁)，=(x₂-，y₂),+ =0,

∴∴2px₁=2px₂.∴x₁=x₂=.

∴=(x,y)=+=(x₁+x₂,y₁+y₂)=(p,0).

（2）=(x,y)=(x₁+x₂,y₁+y₂),

∴又∥,∴y₂(x₁-)=y₁(x₂-).

∴y₂(-)-y₁(-)=0,(y₁-y₂)-(y₂-y₁)=0.

∵y₁≠y₂,

∴y₁y₂=-p²,x=(y₁²+y₂²)=［(y₁+y₂)²-2y₁y₂］=［y²+2p²］.

∴y₂=2px-2p²=2p(x-p).

∴动点M的轨迹方程为y²=2p(x-p).

（3）设M（x₀，y₀），由（2）知y₀²=2p(x₀-p),

||²=x₀²+y₀²=x₀²+2px₀-2p²=(x₀+p)²-3p²,

∵x₀≥p,∴当x₀=p时，||²有最小值p²，此时||有最小值p.