Question

如图，矩形ABCD中，|AB|=1，|BC|=a，PA⊥面ABCD且|PA|=1．

(1)BC边上是否存在点Q，使得PQ⊥QD，并说明理由；

(2)若BC边上存在唯一的点Q使得PQ⊥QD，指出点Q的位置，并求出此时AD与平面PDQ所成的角的正弦值；

(3)在(2)的条件下，求二面角Q—PD—A的正弦值．

Answer 1

答案：
解析：

当a≥2时才存在；；

提示：

(1)若BC边上存在点Q，使PQ⊥QD，因PA⊥面ABCD知AQ⊥QD．矩形ABCD中，当a＜2时，直线BC与以AD为直径的圆相离，故不存在点Q使AQ⊥QD，故仅当a≥2时才存在点Q使PQ⊥QD； (2)当a=2时，以AD为直径的圆与BC相切于Q，此时Q是唯一的点使∠AQD为直角，且Q为BC的中点.作AH⊥PQ于H，可证∠ADH为AD与平面PDQ所成的角，且在Rt△PAQ中可求得sinADH=; (3)作AG⊥PD于G，可证∠AGH为二面角Q—PD—A的平面角，且在Rt△PAD中可求得sinAGH=．