Question

【题目】如图，已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝2，CC1＝5，E是棱CC1上不同于端点的点，且．

（1） 当∠BEA1为钝角时，求实数λ的取值范围；

（2） 若λ＝，记二面角B1－A1B－E的的大小为θ，求|cosθ|．

Answer 1

【答案】（1）(，)．（2）．

【解析】

试题解析：

解：（1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．

由题设，知B(2，3，0)，A1(2，0，5)，C(0，3，0)，C1(0，3，5)．

因为，所以E(0，3，5λ)．

从而＝(2，0，－5λ)，＝(2，－3，5－5λ)． 2分

当∠BEA1为钝角时，cos∠BEA1＜0，

所以＜0，即2×2－5λ(5－5λ)＜0，

解得＜λ＜．

即实数λ的取值范围是(，)． 5分

（2）当λ＝时，＝(2，0，－2)，＝(2，－3，3)．

设平面BEA1的一个法向量为n1＝(x，y，z)，

由 得

取x＝1，得y＝，z＝1，

所以平面BEA1的一个法向量为n1＝(1，，1)． 7分

易知，平面BA1B1的一个法向量为n2＝(1，0，0)．

因为cos< n1，n2>＝，

从而|cosθ|＝． 10分