Question

如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，EF∥AB，EF⊥FB，AB=2EF，∠BFC=90°，BF=FC，H为BC的中点．
（1）求证：FH∥平面EDB；
（2）求证：AC⊥平面EDB；
（3）求二面角B-DE-C的大小．

Answer 1

分析：（1）设AC于BD交于点G，则G为AC的中点，连接EG，GH，又H为BC的中点，可得四边形EFHG为平行四边形，然后利用直线与平面平行判断定理进行证明；
（2）因为四边形ABCD为正方形，有AB⊥BC，又EF∥AB，可得EF⊥BC，要证FH⊥平面ABCD，FH⊥平面ABCD，从而求解．
（3）在平面CDEF内过点F作FK⊥DE交DE的延长线与k，可知∠FKB为二面角B-DE-C的一个平面角，然后设EF=1，在直角三角形中进行求证．

解答：证明：（1）设AC于BD交于点G，则G为AC的中点，连接EG，GH，又H为BC的中点，
∴GH∥AB且GH=

1

2

AB，又EF∥AB且EF=

1

2

AB，∴EF∥GH且EF=GH，
∴四边形EFHG为平行四边形
∴EG∥FH，而EG?平面EDB，∴FH∥平面EDB．
（2）由四边形ABCD为正方形，有AB⊥BC，又EF∥AB，∴EF⊥BC
而EF⊥FB，∴EF⊥平面BFC，∴EF⊥FH，∴AB⊥FH，
又BF=FC，H为BC的中点，∴FH⊥BC
∴FH⊥平面ABCD，∴FH⊥BC，FH⊥AC，
又FH∥EG，∴AC⊥EG
又AC⊥BD，EG∩BD=G，
∴AC⊥平面EDB，
（3）EF⊥FB，∠BFC=90°，∴BF⊥平面CDEF，
在平面CDEF内过点F作FK⊥DE交DE的延长线与k，则
∠FKB为二面角B-DE-C的一个平面角，
设EF=1，则AB=2，FC=

2

，DE=

3

，
又EF∥DC，∴∠KEF=∠EDC，
∴sin∠EDC=sin∠KEF=

2

3

，
∴FK=EFsin∠KEF=

2

3

，
tan∠FKB=

BF

FK

=

3

，
∴∠FKB=60°，
∴二面角B-DE-C为60°．

点评：此题考查直线与平面平行的判断及平面与平面垂直的判断，此类问题一般先证明两个面平行，再证直线和面平行，这种做题思想要记住，此类立体几何题是每年高考必考的一道大题，同学们要课下要多练习．