Question

某车间生产一种仪器的固定成本是10000元，每生产一台该仪器需要增加投入100元，已知总收益满足函数：H（x）=

400x-x2，0≤x≤200 40000，x＞200

，其中x是仪器的月产量．
（1）将利润表示为月产量的函数（用f（x）表示）；
（2）当月产量为何值时，车间所获利润最大？最大利润是多少元？（总收益=总成本+利润）

Answer 1

分析：（1）设月产量为x台，则总成本为t=10000+100x，由f（x）=H（x）-t，能求出利润f（x）．
（2）当0≤x≤200时，f（x）=-（x-150）²+12500，f（x）_max=f（150）=12500．当x＞200时，f（x）=-100x+30000在（200，+∞）上是减函数，由此即可判断出结论

解答：解：（1）设月产量为x台，则总成本为t=10000+100x，
总收益满足函数：H（x）=

400x-x2，0≤x≤200 40000，x＞200

，
∵f（x）=H（x）-t，
∴利润f（x）=

-x2+300x-10000，0≤x≤200 -100x+30000，x＞200

．
（2）当0≤x≤200时，f（x）=-（x-150）²+12500，
∴f（x）_max=f（150）=12500．
当x＞200时，f（x）=-100x+30000在（200，+∞）上是减函数，
∴f（x）_max＜f（200）=10000＜12500，
∴当月产量为150台时，该车间所获利润最大，最大利润是12500元．

点评：本题考查函数在生产生活中的具体运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．