Question

【题目】已知抛物线C:, 过抛物线C上点M且与M处的切线垂直的直线称为抛物线C在点M的法线．

（1）若抛物线C在点M的法线的斜率为，求点M的坐标；

（2）设P为C对称轴上的一点，在C上是否存在点，使得C在该点的法线通过点P．若有，求出这些点，以及C在这些点的法线方程；若没有，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）当时，在上有三点，及，在该点的法线通过点，法线方程分别为，，，当时，在上有一点，在该点的法线通过点，法线方程为．

【解析】

试题分析：（1）求导可得点处切线的斜率法线斜率为=点的坐标为；（2）设为上一点，由上点处的切线斜率,法线方程为法线过点；若的法线方程为：．再讨论和，即可求得：当时，有三点和三条法线；当时，有一点和一条法线．

试题解析：（1）函数的导数，点处切线的斜率

过点的法线斜率为=，解得，。故点的坐标为。

（2）设为上一点，

若，则上点处的切线斜率,过点的法线方程为， 法线过点;

若，则过点的法线方程为：。

若法线过点，则，即。

若，则，从而，

代入得，。

若，与矛盾，若，则无解。

综上，当时，在上有三点，及，在该点的法线通过点，法线方程分别为，，。

当时，在上有一点，在该点的法线通过点，法线方程为。