Question

【题目】已知函数f（x）=ln（x+1）+ax，其中a∈R．

（Ⅰ） 当a=﹣1时，求证：f（x）≤0；

（Ⅱ） 对任意x2≥ex1＞0，存在x∈（﹣1，+∞），使 成立，求a的取值范围．（其中e是自然对数的底数，e=2.71828…）

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

试题分析：（1）求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间，从而证明结论即可．

（2）令，把问题转化为，设，根据函数的单调性证明即可．

试题分析：

解：（Ⅰ）证明：当 a=﹣1时，f（x）=ln（x+1）﹣x（x＞﹣1），

则 ，令f'（x）=0，得x=0．

当﹣1＜x＜0时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；

当x＞0时，f'（x）＜0，f（x）单调递减．

故当x=0时，函数f（x）取得极大值，也为最大值，

所以f（x）max=f（0）=0，

所以，f（x）≤0，得证．

（Ⅱ）不等式 ，

即为 ．

而

= ．

令 ．故对任意t≥e，存在x∈（﹣1，+∞），使 恒成立，

所以 ，

设 ，则 ，

设u（t）=t﹣1﹣lnt，知 对于t≥e恒成立，

则u（t）=t﹣1﹣lnt为[e，+∞）上的增函数，

于是u（t）=t﹣1﹣lnt≥u（e）=e﹣2＞0，

即 对于t≥e恒成立，

所以 为[e，+∞）上的增函数，

所以 ；

设p（x）=﹣f（x）﹣a，即p（x）=﹣ln（x+1）﹣ax﹣a，

当a≥0时，p（x）为（0，+∞）上的减函数，

且其值域为R，可知符合题意．

当a＜0时， ，由p'（x）=0可得 ，

由p'（x）＞0得 ，则p（x）在 上为增函数，

由p'（x）＜0得 ，则p（x）在 上为减函数，

所以 ．

从而由 ，解得 ，

综上所述，a的取值范围是