Question

过点A（-4，0）向椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)引两条切线，切点分别为B，C，且△ABC为正三角形．
（Ⅰ）求ab最大时椭圆的方程；
（Ⅱ）对（Ⅰ）中的椭圆，若其左焦点为F，过F的直线l与y轴交于点M，与椭圆的一个交点为Q，且|

MQ

|=2|

QF

|，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意，其中一条切线的方程为：y=

3

3

(x+4)，联立方程组

y= 3 3 (x+4) x2 a2 + y2 b2 =1

，消去y得3b²x²+a²（（x+4）²=3a²b²，由△=0，可得a²+3b²=16，0＜ab≤

8 3

3

，当a²=3b²时，ab取最大值，求得a2=8，b2=

8

3

，由此能求出椭圆的方程．
（Ⅱ）由F(-

4 3

3

，0)，设直线方程为：y=k(x+

4 3

3

)，设Q（x₀，y₀），则M(0，

4 3

3

k)，当

MQ

=2

QF

时，有定比分点公式可得：x0=-

8 3

9

，y0=

4 3

9

k．由此能求出直线方程．

解答：解：（Ⅰ）由题意，其中一条切线的方程为：y=

3

3

(x+4)（2分）
联立方程组

y= 3 3 (x+4) x2 a2 + y2 b2 =1

消去y得3b²x²+a²（（x+4）²=3a²b²
即（a²+3b²）x²+8a²x+16a²-3a²b²=0有△=0，可得a²+3b²=16
因为a²+3b²=16，所以16≥2

3a2b2

，即0＜ab≤

8 3

3

（4分）
所以当a²=3b²时，ab取最大值；求得a2=8，b2=

8

3

故椭圆的方程为

x2

8

+

3y2

8

=1（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，F(-

4 3

3

，0)，设直线方程为：y=k(x+

4 3

3

)
设Q（x₀，y₀），则M(0，

4 3

3

k)当

MQ

=2

QF

时，有定比分点公式可得：x0=-

8 3

9

，y0=

4 3

9

k（8分）
代入椭圆解得k=±

114

6

直线方程为y=±

114

6

(x+

4 3

3

)（10分）
同理当

MQ

=-2

QF

时，16k2=-

40

3

无解
故直线方程为y=±

114

6

(x+

4 3

3

)（12分）

点评：本题考查求ab最大时椭圆的方程和求直线方程，解题时要认真审题，仔细解答，注意培养计算能力．