Question

　　已知定义在上的奇函数在处取得极值.

   （Ⅰ）求函数的解析式；

　 （Ⅱ）试证：对于区间上任意两个自变量的值，都有成立；

  （Ⅲ）若过点可作曲线的三条切线，试求点P对应平面区域的面积.

Answer 1

（Ⅰ）    （Ⅲ）8

解析:

（I）由题意，∴ ,

∴,又，

        即

        解得.

        ∴------------------------------------------------4分

   （II）∵，,

当时，，故在区间[－1，1]上为减函数，

∴

对于区间[－1，1]上任意两个自变量的值，

∴-------------------------------9分

   （III）设切点为，则点M的坐标满足

因，故切线的方程为：

，

∵，∴

整理得.

∵若过点可作曲线的三条切线，

∴关于方程有三个实根.

设，则

，

由，得或.

由对称性，先考虑

∵在，上单调递增，在上单调递减.

∴函数的极值点为,或

∴关于方程有三个实根的充要条件是

，解得.

故时，点P对应平面区域的面积

故时，所求点P对应平面区域的面积为，即8.