Question

某中学举行了一次“环保知识竞赛”，全校学生参加了这次竞赛．为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计．请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：
频率分布表

组别	分组	频数	频率
第1组	[50，60）	8	0.16
第2组	[60，70）	a	▓
第3组	[70，80）	20	0.40
第4组	[80，90）	▓	0.08
第5组	[90，100]	2	b
	合计	▓	▓

（1）写出a，b，x，y的值；
（2）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学到广场参加环保知识的志愿宣传活动．
（ⅰ）求所抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率；
（ⅱ）求所抽取的2名同学来自同一组的概率．

Answer 1

分析：（1）利用频率分布表和频率分布直方图，由题意能求出a，b，x，y的值．
（2）（ⅰ）由题意可知，第4组共有4人，记为A，B，C，D，第5组共有2人，记为X，Y．从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学，有15种情况由此能求出随机抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率．
（ⅱ）设“随机抽取的2名同学来自同一组”为事件F，有AB，AC，AD，BC，BD，CD，XY共7种情况，由此能求出随机抽取的2名同学来自同一组的概率．

解答：（本小题满分13分）
解：（1）由题意可知，a=16，b=0.04，x=0.032，y=0.004．…（4分）
（2）（ⅰ）由题意可知，第4组共有4人，记为A，B，C，D，第5组共有2人，记为X，Y．
从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学，
有AB，AC，AD，BC，BD，CD，AX，AY，BX，BY，CX，CY，DX，DY，XY，共15种情况．…（6分）
设“随机抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组”为事件E，…（7分）
有AX，AY，BX，BY，CX，CY，DX，DY，XY共9种情况．       …（8分）
所以随机抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率是P（E）=

9

15

=

3

5

．
答：随机抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率

3

5

．…（10分）
（ⅱ）设“随机抽取的2名同学来自同一组”为事件F，有AB，AC，AD，BC，BD，CD，XY共7种情况．…（11分）
所以P（F）=

7

15

．
答：随机抽取的2名同学来自同一组的概率是

7

15

．…（13分）

点评：本题考查概率的求法，解题时要认真审题，注意频率分布直方图和穷举法的合理运用．