Question

过正三棱锥S-ABC侧棱SB与底面中心O作截面SBO，已知截面是等腰三角形，则侧面和底面所成角的余弦值为（　　）

• A．

  1

  3

• B．

  3

  3

• C．

  1

  3

  或

  6

  6

• D．

  3

  3

  或

  6

  6

Answer 1

分析：如图，延长BO交AC于D，则D为AC中点，∠SDC为侧面和底面所成角的平面角．截面△SBD分SD=BD，SB=BD 两种情况求解．

解答：解：延长BO交AC于D，则D为AC中点．截面为△SBD．
由正棱锥的性质，SO⊥面ABC，SD⊥AC，BD⊥AC，∠SDC为侧面和底面所成角的平面角．设底面边长BC=2．易知SB≠SD．
（1）若SD=BD，则SC=BC，正三棱锥S-ABC为正四面体．BD=

BC2-CD2

=

3

，在△SDB中，由余弦定理得cos∠SDC=

SD2+BD2-SB2

2SD•BD

=

3+3-4

2× 3 × 3

=

1

3

．
（2）若SB=BD=

3

，在RT△SDA中，SD=

SA2-AD2

= 

3-1

 =

2

，在△SDB中，由余弦定理得cos∠SDC=

SD2+BD2-SB2

2SD•BD

=

3+2-3

2× 2 × 3

=

6

6

故选C．

点评：本题考查了正棱锥的性质，面面角的计算．考查空间想象能力、计算、推理论证能力．