Question

 (08年泉州一中适应性练习文)（12分）

  如图：在三棱锥中，面，是直角三角形，,点D、E、F分别为AC、AB、BC的中点。

（1）求证： ；

（2）求直线与平面所成角的大小；

（3）求二面角的正切值。

 

Answer 1

解析：解法一（1）连结BD。在中，  

  ，点D为AC的中点，

 

  又面ABC，即BD为PD在平面ABC内的射影， 

  、分别为AB、BC的中点，

  ，

.            （3分）                                       

（2）平面

连结BD交EF于点0，平面PBD，

  为直线PF与平面PBD所成的角，        （4分）

  面又

 

  在中，  ，

即直线PF与平面PBD所成角的大小为.（8分）

（3）过点B作于点M，连结,

  平面PBC，即BM为EM在平面PBC内的射影，

  为二面角的平面角.               （9分）

  中，，

  ，即二面角的正切值为.    （12分）

解法二  建立空间直角坐标系，如图，

则   （2分）

（1）

    

      （4分）                                         

（2）由已知可得，为平面PBD的法向量，

直线PF与面PBD所成角的正弦值为.

直线PF与面PBD所成角的为arcsin.                 （8分）

（3）设平面PEF的一个法向量为

 

 令,

 

由已知可得，向量为平面PBF的一个法向量，

二面角的正切值为                      （12分）