Question

已知各项均为正数的数列{a}满足a=2a+aa，且a+a=2a+4，其中n∈N.
（Ⅰ）若b=，求数列{b}的通项公式；
（Ⅱ）证明：++…+>（n≥2）.

Answer 1

（1）b=（n∈N）
（2）构造函数借助于函数的最值来证明不等式。

试题分析：解：（Ⅰ）因为a=2a+aa，即（a+a）（2a－a）=0.            1分
又a>0，所以有2a－a=0，即2a=a
所以数列是公比为2的等比数列，              3分
由得，解得。
从而，数列{a}的通项公式为a=2（n∈N），即：b=（n∈N）. 5分
（Ⅱ）构造函数f（x）=－（b－x）（x>0），
则f′（x）=－+=，
当0<x<b时，f′（x）>0，x>b时，f′（x）<0，
所以f（x）的最大值是f（b）=，所以f（x）≤.            7分
即≥－（b－x）（x>0，i=1，2，3…n），取“=”的条件是x=b（i=1，2，3…n），
所以++…+>－（b+b+…+b－nx）， 9分
令x=，则++…+>，
所以++…+>，      11分
即++…+>（n≥2）.                12分
点评：解决的关键是能利用等比数列来求解通项公式，同时能结合导数来拍脑袋函数单调性，以及求解函数的最值，同时证明不等式，属于中档题。