Question

已知.
（Ⅰ）当时,判断的奇偶性,并说明理由；
（Ⅱ）当时,若,求的值；
（Ⅲ）若,且对任何不等式恒成立,求实数的取值范围.

Answer 1

（Ⅰ）既不是奇函数,也不是偶函数；（Ⅱ）或；
（Ⅲ）当时,的取值范围是；当时,的取值范围是；当时,的取值范围是.

试题分析：（Ⅰ）对函数奇偶性的判断，一定要结合函数特征先作大致判断，然后再根据奇函数偶函数的定义作严格的证明.当时,，从解析式可以看出它既不是奇函数,也不是偶函数.对既不是奇函数,也不是偶函数的函数，一般取两个特殊值说明.
（Ⅱ）当时,, 由得，这是一个含有绝对值符号的不等式，对这种不等式，一般先分情况去绝对值符号.这又是一个含有指数式的不等式，对这种不等式，一般将指数式看作一个整体，先求出指数式的值，然后再利用指数式求出的值.
（Ⅲ）不等式恒成立的问题，一般有以下两种考虑，一是分离参数，二是直接求最值.在本题中，分离参数比较容易.分离参数时需要除以，故首先考虑的情况. 易得时,取任意实数,不等式恒成立.
,此时原不等式变为；即，这时应满足：，所以接下来就求的最大值和的最小值.在求这个最大值和最小值时，因数还有一个参数，所以又需要对进行讨论.
试题解析：（Ⅰ）当时,既不是奇函数也不是偶函数  
∵,∴ 
所以既不是奇函数,也不是偶函数           3分
（Ⅱ）当时,, 由得  
即或  
解得 
所以或           8分
（Ⅲ）当时,取任意实数,不等式恒成立,
故只需考虑,此时原不等式变为；即
故
又函数在上单调递增,所以;
对于函数 
①当时,在上单调递减,,又,
所以,此时的取值范围是  
②当,在上,,
当时,,此时要使存在,
必须有    即,此时的取值范围是
综上,当时,的取值范围是;
当时,的取值范围是;
当时,的取值范围是           13分